4.1.5 LUMMER-GEHRCKE-Platte

Das Prinzip der LUMMER-GEHRCKE-Platte beruht auf der Vielstrahlinterferenz. Man nimmt eine Glas- oder Quarzplatte mit einer Höhe von ca. 2cm, einer Dicke von 3cm und einer Länge von ca. 20 bis 30 cm mit einem angekitteten Prisma am Anfang (siehe Abbildung 4.1).
Abbildung 4.1: LUMMER-GEHRCKE-Interferrometer
\includegraphics[width=11cm]{Zeeman/Lummer.eps}
a)
Interferrometer nach LUMMER
b)
Interferrometer nach LUMMER und GEHRCKE
Das Prisma verhindert, daß der erste Strahl am dichteren Medium reflektiert wird. Strahlt man Licht etwa senkrecht auf die Hypotenusenfläche des Prismas, werden etwa 96% der Energie in die Platte gelassen. In der Platte wird das Licht aufgrund des sehr schrägen Einfallswinkels zu bis zu 95% totalreflektiert und der Rest tritt aus. Dies passiert immer wieder, so daß man sehr viele parallele Strahlen mit einer Wellenlängendifferenz von Vielfachen von $\delta$ erhält.

\begin{displaymath}\delta = 2 \pi \frac d \lambda\end{displaymath}

Die Feldstärken der verschieden Wellen lassen sich komplex als
$\displaystyle E_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Re A \exp\left[i 2 \pi \nu \left(t-\frac x
c\right)\right]$  
$\displaystyle E_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Re A \exp\left[i 2 \pi \nu \left(t-\frac x
c\right)-\delta \right]$  
$\displaystyle E_3$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Re A \exp\left[i 2 \pi \nu \left(t-\frac x
c\right)-2\delta\right]$  

usw. darstellen. Die gesamte Feldstärke ist die Summe der $E_n$ und läßt sich mit Hilfe der geometrischen Reihe als
$\displaystyle E$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Re A \exp\left[i 2 \pi \nu \left(t-\frac x
c\right)\right] \frac {1} {1-\rho \exp[-i \delta]}$  

darstellen, wobei die Anzahl $n$ der Wellen gegen Unendlich angenommen wird und $\rho$ der Reflexionfaktor der Platte ist. Der Zeitmittelwert ergibt sich nach G. B. AIRY zu

\begin{displaymath}\overline{E_\infty ^2}= \frac {\frac {A^2} {2}} {1 + \rho ^2 - 2 \rho \cos \delta}\end{displaymath}

Für kleine $\rho$ entspricht dies der in Interferenz von zwei Wellen, in unserem Fall liegt aber $\rho$ nahe bei eins ( $\rho
\approx 0.9$). Die austretenden Strahlen werden mit einer Sammellinse fokussiert, wobei dann Intensitätsmaxima bei $\delta =
0, 2\pi, 4\pi,\dots$ zu beobachten sind.
Abbildung 4.2: Änderung der Interferenzmaxima bei Vielstrahlinterferenz
\includegraphics[width=11cm]{Zeeman/LummerMax.eps}
Zur Änderung der Interferenzmaxima mit der Größe $\rho$ (hier $\rho = r$) siehe Abbildung 4.2. Bei $\rho$ gegen 1, also etwa in unserem Fall, werden die Maxima immer klarer. Es ergibt sich ein Interferenzbild, aus dem die Abstände zum Nullpunkt zweier benachbarter Striche abgelesen werden können. Aus diesen ergeben sich die entsprechenden Ablenkwinkel $\alpha$, mit denen die Wellenlängen ausgerechnet werden können. Der Gangunterschied $\Delta$ ergibt sich aus geometrischen Überlegungen aus

\begin{displaymath}\Delta = n \frac {2d} {\cos \beta} - 2 d \sin \alpha \tan \beta\end{displaymath}

mit

\begin{displaymath}\frac {\sin \alpha} {\sin \beta} = n\end{displaymath}

folgt

\begin{displaymath}\Delta=2 d \sqrt{n^2 -\sin^2
\alpha}\end{displaymath}

mit Brechungsindex n und Maximas bei

\begin{displaymath}\Delta =k \lambda= 2 d \sqrt{n^2 - sin^2 \alpha}\end{displaymath}

Um den Brechungsindex zu ermitteln, leitet man die Beziehung

\begin{displaymath}k=\frac 1 \lambda 2 d
\sqrt{n^2 - sin^2 \alpha}\end{displaymath}

partiell nach $\alpha$ ab und erhält

\begin{displaymath}\frac {\partial k} {\partial \alpha} = - \frac {2 d \sin \alpha
\cos\alpha} {\lambda \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}\end{displaymath}

Für zwei benachbarte Maxima ($\Delta k = 1$) folgt

\begin{displaymath}n=\sqrt{\left(\frac {2 d \Delta \alpha \sin \alpha \cos\alpha}
\lambda \right)^2+\sin^2 \alpha}\end{displaymath}

Differentiert man $\lambda$ total so erhält man

\begin{displaymath}d\lambda = \frac {\partial \lambda}{\partial n} dn+\frac {\partial \lambda}{\partial \alpha}
d\alpha\end{displaymath}

Daraus ergibt sich die Winkeldispersion zu

\begin{displaymath}\frac
{\partial\lambda}{\partial\alpha} = -\frac {\lambda
\sin\alpha\cos\alpha}{n^2-\sin^2\alpha-n\lambda \frac
{dn}{d\lambda}}\end{displaymath}

Vernachlässigt man $\frac {dn}{d\lambda}\simeq
0$ so erhält man die Wellenlängenänderung mit

\begin{displaymath}\partial \lambda = - \frac {\partial\alpha}{\Delta
\alpha}\cdot \Delta\lambda\end{displaymath}

mit dem meßbaren Winkelunterschied zwischen zwei Ordnungen $\Delta \alpha$ und dem nutzbaren Spektralbereich $\Delta\lambda$. Das Auflösungsvermögen kann man über die allgemeingültige Beziehung

\begin{displaymath}A = k N\end{displaymath}

mit

\begin{displaymath}N = \frac l {\overline{AC}} = \frac {l} {2 d n}\end{displaymath}

zu

\begin{displaymath}A =
\frac l \lambda (n^2-1)\end{displaymath}

bestimmen, wenn man davon aus geht, daß $\alpha \approx 90$, also $\sin \alpha \approx 1$ ist. Das Auflösungsvermögen hängt also nur von der Länge, nicht aber der Dicke der Platte ab. Da die Platte absolut planparallel sein muß, kann man die Auflösung nicht durch beliebig lange Platten erhöhen. Die Lummer-Gehrcke-Platte liefert insgesamt ein sehr hohes Auflösungsverhältnis und braucht keinerlei Justierungen. Die Nachteile sind, daß weder Auflösung noch Dispersionsgebiet aufgrund der konstanten Dicke variiert werden kann und die geringe Lichtstärke aufgrund der kleinen Eintrittsfläche.
Jan Scholz 2003-07-01