Designs


Mathematik für systematisches Lotteriespiel

Vorbemerkung

Kombinatorische Designs spielen unter anderem eine wichtige Rolle in der Versuchsplanung (Experiment Design): Wenn die Effekte einer Reihe unterschiedlicher Faktoren auf einen (Produktions-) Prozess experimentell ermittelt werden sollen, ist es für eine statistische Analyse von Versuchsergebnissen von Bedeutung, dass in der durchgeführten Versuchsreihe die einzelnen Faktoren systematisch variiert werden. Die Kombinatorik, ein Teilgebiet der Mathematik, liefert dazu in Gestalt von kombinatorischen Designs das theoretische Fundament. Aber nicht nur in der Versuchsplanung lassen sich diese theoretischen Grundlagen nutzbringend anwenden, sondern auch beim Ausfüllen eines Spielscheins der Lotterie 6 aus 49. Selbstverständlich bleibt auch mit dem Rückgriff auf kombinatorische Designs beim Ankreuzen der Zahlen auf dem Spielschein der Gewinn am Ende immer vom Zufall abhängig. (Eine Übersicht der Gewinnchancen findet sich auf der Seite "Analyse 6 aus 49"). Dennoch stellen Designs, genauer gesprochen die sogenannten Covering Designs oder kurz: Coverings, ein wertvolles Hilfsmittel dar, wenn es darum geht, die Zahlen auf dem Lottoschein systematisch anzukreuzen. Dies sei anhand einer beispielhaften Problemstellung verdeutlicht:

Beispiel

Problem:

Ich möchte meine acht Lieblingszahlen 10, 11, 20, 22, 30, 33, 40, 44 in möglichst wenigen Tippreihen so systematisch auf dem Spielschein ankreuzen, dass ich unter Garantie drei Richtige habe, wenn sich unter den sechs am Samstag gezogenen Gewinnzahlen drei beliebige meiner Lieblingszahlen, zum Beispiel 11, 22, 44, befinden.

Lösung:

Folgende vier Tippreihen B1 - B4 stellen eine minimale Lösung des vorstehend formulierten Problems dar, denn jede Kombination aus drei meiner acht Lieblingszahlen ist in mindestens einer der vier Tippreihen enthalten. So kommt zum Beispiel die oben genannte Zahlenkombination 11, 22, 44 in Tippreihe B2 vor:

Tippreihe B1 = { 10, 11, 20, 22, 30, 33 }
Tippreihe B2 = { 10, 11, 20, 22, 40, 44 }
Tippreihe B3 = { 10, 11, 30, 33, 40, 44 }
Tippreihe B4 = { 20, 22, 30, 33, 40, 44 }


Was ist ein Design?

Nachdem in der Vorbemerkung anhand eines Beispiels eine ungefähre Vorstellung von einem kombinatorischen Design vermittelt wurde, soll nun mit mathematischer Präzision definiert werden, was im weiteren unter einem Design verstanden wird:

Definition

Seien v, k, t natürliche Zahlen mit v >= k >= t > 0.
Ein ( v, k, t, lambda )-Design ist ein Paar (X,B) mit folgenden Eigenschaften:

  • X ist eine v-elementige Menge von Punkten
  • B ist eine Familie von k-elementigen Teilmengen von X, die als Blöcke bezeichnet werden
  • Jede t-elementige Teilmenge von X ist in mindestens lambda Blöcken aus B als Teilmenge enthalten


Diese mathematisch abstrakte Definition kann anhand des Beispiels aus der Vorbemerkung mit Leben erfüllt werden: Die acht Lieblingszahlen aus dem Beispiel entsprechen der Menge der Punkte X, d.h. v=8 und X={10,11,20,22,30,33,40,44}. Aus dieser Menge sollen Tippreihen zu je sechs Zahlen gebildet werden, damit ist also k=6. Die vier Tippreihen B1 - B4, die als minimale Lösung des Problems angegeben wurden, stellen die Familie B von Blöcken dar, d.h. B = ( B1, B2, B3, B4 ). Diese Familie von Blöcken besitzt die Eigenschaft, dass jede beliebige Auswahl von drei Zahlen aus X in mindestens einem der Blöcke aus B enthalten ist. Dies legt die Werte von t (=3) und lambda (=1) fest, und es gilt: (X,B) ist ein ( 8, 6, 3, 1 )-Design.

Tabellarische Darstellung von Designs

Im Beispiel zur Vorbemerkung wurden die vier Tippreihen B1-B4 explizit in Textform angegeben. Wie leicht einzusehen ist, ist das eine zwar kurze, aber - besonders für umfangreiche Designs - eine nicht besonders übersichtliche Form der Darstellung. Besser geeignet zur Visualisierung eines Designs (X,B) ist eine Inzidenzmatrix, oder eine dazu äquivalente tabellarische Darstellung, wie sie im weiteren benutzt werden soll. Die Zeilen einer Tabelle repräsentieren dabei die Blöcke aus B, während ihre Spalten die Punkte aus X, repräsentieren. Dass ein Punkt in einem Block (bzw. eine Zahl in einer Tippreihe) enthalten ist, wird jeweils durch ein "x" im zugehörigen Tabelleneintrag zum Ausdruck gebracht. Durch die so definierte tabellarische Darstellung wird insbesondere die systematische Struktur und damit in gewissem Sinne die mathematische Schönheit von Designs hervorgehoben. Überdies ähnelt diese Repräsentationsform unmittelbar einem ausgefüllten Lottoschein!

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 8, 6, 3, 1 )-Design sowohl in Textform als auch in Tabellenform. In der Tabelle repräsentiert jede Zeile eine Tippreihe aus sechs Zahlen, und jede Spalte eine Zahl. Wenn eine Zahl in einer Tippreihe enthalten ist, wird dies durch ein "x" zum Ausdruck gebracht, ansonsten steht ein Punkt ".":


                       1 2 3 4 5 6 7 8
                      -+-+-+-+-+-+-+-+-
 B1: { 1,2,3,4,5,6 } [ x x x x x x . . ] 
 B2: { 1,2,3,4,7,8 } [ x x x x . . x x ] 
 B3: { 1,2,5,6,7,8 } [ x x . . x x x x ] 
 B4: { 3,4,5,6,7,8 } [ . . x x x x x x ]

Die folgende Abbildung zeigt wiederum denselben ( 8, 6, 3, 1 )-Design, wobei allerdings die Tabellenrepräsentation kompakter ist, weil jede Tabellenspalte ein Paar aus zwei Zahlen repräsentiert:


                       1 3 5 7
                       2 4 6 8
                      -+-+-+-+-
 B1: { 1,2,3,4,5,6 } [ x x x . ] 
 B2: { 1,2,3,4,7,8 } [ x x . x ] 
 B3: { 1,2,5,6,7,8 } [ x . x x ] 
 B4: { 3,4,5,6,7,8 } [ . x x x ]

An der kompakten Form der tabellarischen Repräsentation des ( 8, 6, 3, 1 )-Designs wird deutlich, dass er auf der Grundform eines ( 4, 3, 3, 1 )-Designs beruht. Das dahinterliegende Prinzip der Verwendung von Zahlenpaaren wird im folgenden für n=5,6,7 zur Konstruktion von ( 2n, 6, 3, 1 )-Designs auf der Grundlage eines ( n, 3, 3, 1 )-Designs benutzt.

Ein ( 10, 6, 3, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt in kompakter Form einen ( 10, 6, 3, 1 )-Design. Er beruht auf der Grundform eines ( 5, 3, 3, 1 )-Designs. Dass er eine Erweiterung des ( 8, 6, 3, 1 )-Designs darstellt, wird durch die eingefügte Trennlinie angedeutet.


                             1  3  5  7  9
                             2  4  6  8 10
                            -+--+--+--+--+-
 B1 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } [ x  x  x  .  . ] 
 B2 : { 1, 2, 3, 4, 7, 8 } [ x  x  .  x  . ] 
 B3 : { 1, 2, 5, 6, 7, 8 } [ x  .  x  x  . ] 
 B4 : { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } [ .  x  x  x  . ] 
 ------------------------------------------
 B5 : { 1, 2, 3, 4, 9,10 } [ x  x  .  .  x ] 
 B6 : { 1, 2, 5, 6, 9,10 } [ x  .  x  .  x ] 
 B7 : { 1, 2, 7, 8, 9,10 } [ x  .  .  x  x ] 
 B8 : { 3, 4, 5, 6, 9,10 } [ .  x  x  .  x ] 
 B9 : { 3, 4, 7, 8, 9,10 } [ .  x  .  x  x ] 
 B10: { 5, 6, 7, 8, 9,10 } [ .  .  x  x  x ]

Ein ( 12, 6, 3, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 12, 6, 3, 1 )-Design. Er beruht auf der Grundform eines ( 6, 3, 3, 1 )-Designs. Dass er eine Erweiterung des ( 8, 6, 3, 1 )-Designs und des ( 10, 6, 3, 1 )-Designs darstellt, wird durch die eingefügten Trennlinien angedeutet.


                             1  3  5  7  9 11
                             2  4  6  8 10 12
                            -+--+--+--+--+--+-
 B1 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } [ x  x  x  .  .  . ] 
 B2 : { 1, 2, 3, 4, 7, 8 } [ x  x  .  x  .  . ] 
 B3 : { 1, 2, 5, 6, 7, 8 } [ x  .  x  x  .  . ] 
 B4 : { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } [ .  x  x  x  .  . ] 
 ----------------------------------------------
 B5 : { 1, 2, 3, 4, 9,10 } [ x  x  .  .  x  . ] 
 B6 : { 1, 2, 5, 6, 9,10 } [ x  .  x  .  x  . ] 
 B7 : { 1, 2, 7, 8, 9,10 } [ x  .  .  x  x  . ] 
 B8 : { 3, 4, 5, 6, 9,10 } [ .  x  x  .  x  . ] 
 B9 : { 3, 4, 7, 8, 9,10 } [ .  x  .  x  x  . ] 
 B10: { 5, 6, 7, 8, 9,10 } [ .  .  x  x  x  . ]
 ----------------------------------------------
 B11: { 1, 2, 3, 4,11,12 } [ x  x  .  .  .  x ] 
 B12: { 1, 2, 5, 6,11,12 } [ x  .  x  .  .  x ] 
 B13: { 1, 2, 7, 8,11,12 } [ x  .  .  x  .  x ] 
 B14: { 1, 2, 9,10,11,12 } [ x  .  .  .  x  x ] 
 B15: { 3, 4, 5, 6,11,12 } [ .  x  x  .  .  x ] 
 B16: { 3, 4, 7, 8,11,12 } [ .  x  .  x  .  x ] 
 B17: { 3, 4, 9,10,11,12 } [ .  x  .  .  x  x ] 
 B18: { 5, 6, 7, 8,11,12 } [ .  .  x  x  .  x ] 
 B19: { 5, 6, 9,10,11,12 } [ .  .  x  .  x  x ] 
 B20: { 7, 8, 9,10,11,12 } [ .  .  .  x  x  x ]

Ein ( 14, 6, 3, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 14, 6, 3, 1 )-Design. Er beruht auf der Grundform eines ( 7, 3, 3, 1 )-Designs. Dass er eine Erweiterung des ( 8, 6, 3, 1 )-Designs, des ( 10, 6, 3, 1 )-Designs und des ( 12, 6, 3, 1 )-Designs darstellt, wird durch die eingefügten Trennlinien angedeutet.


                             1  3  5  7  9 11 13
                             2  4  6  8 10 12 14
                            -+--+--+--+--+--+--+-
 B1 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } [ x  x  x  .  .  .  . ] 
 B2 : { 1, 2, 3, 4, 7, 8 } [ x  x  .  x  .  .  . ] 
 B3 : { 1, 2, 5, 6, 7, 8 } [ x  .  x  x  .  .  . ] 
 B4 : { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } [ .  x  x  x  .  .  . ] 
 -------------------------------------------------
 B5 : { 1, 2, 3, 4, 9,10 } [ x  x  .  .  x  .  . ] 
 B6 : { 1, 2, 5, 6, 9,10 } [ x  .  x  .  x  .  . ] 
 B7 : { 1, 2, 7, 8, 9,10 } [ x  .  .  x  x  .  . ] 
 B8 : { 3, 4, 5, 6, 9,10 } [ .  x  x  .  x  .  . ] 
 B9 : { 3, 4, 7, 8, 9,10 } [ .  x  .  x  x  .  . ] 
 B10: { 5, 6, 7, 8, 9,10 } [ .  .  x  x  x  .  . ]
 -------------------------------------------------
 B11: { 1, 2, 3, 4,11,12 } [ x  x  .  .  .  x  . ] 
 B12: { 1, 2, 5, 6,11,12 } [ x  .  x  .  .  x  . ] 
 B13: { 1, 2, 7, 8,11,12 } [ x  .  .  x  .  x  . ] 
 B14: { 1, 2, 9,10,11,12 } [ x  .  .  .  x  x  . ] 
 B15: { 3, 4, 5, 6,11,12 } [ .  x  x  .  .  x  . ] 
 B16: { 3, 4, 7, 8,11,12 } [ .  x  .  x  .  x  . ] 
 B17: { 3, 4, 9,10,11,12 } [ .  x  .  .  x  x  . ] 
 B18: { 5, 6, 7, 8,11,12 } [ .  .  x  x  .  x  . ] 
 B19: { 5, 6, 9,10,11,12 } [ .  .  x  .  x  x  . ] 
 B20: { 7, 8, 9,10,11,12 } [ .  .  .  x  x  x  . ] 
 ------------------------------------------------- 
 B21: { 1, 2, 3, 4,13,14 } [ x  x  .  .  .  .  x ] 
 B22: { 1, 2, 5, 6,13,14 } [ x  .  x  .  .  .  x ] 
 B23: { 1, 2, 7, 8,13,14 } [ x  .  .  x  .  .  x ] 
 B24: { 1, 2, 9,10,13,14 } [ x  .  .  .  x  .  x ] 
 B25: { 1, 2,11,12,13,14 } [ x  .  .  .  .  x  x ] 
 B26: { 3, 4, 5, 6,13,14 } [ .  x  x  .  .  .  x ] 
 B27: { 3, 4, 7, 8,13,14 } [ .  x  .  x  .  .  x ] 
 B28: { 3, 4, 9,10,13,14 } [ .  x  .  .  x  .  x ] 
 B29: { 3, 4,11,12,13,14 } [ .  x  .  .  .  x  x ] 
 B30: { 5, 6, 7, 8,13,14 } [ .  .  x  x  .  .  x ] 
 B31: { 5, 6, 9,10,13,14 } [ .  .  x  .  x  .  x ] 
 B32: { 5, 6,11,12,13,14 } [ .  .  x  .  .  x  x ] 
 B33: { 7, 8, 9,10,13,14 } [ .  .  .  x  x  .  x ] 
 B34: { 7, 8,11,12,13,14 } [ .  .  .  x  .  x  x ] 
 B35: { 9,10,11,12,13,14 } [ .  .  .  .  x  x  x ]


Ein ( 7, 3, 2, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 7, 3, 2, 1 )-Design.


                    1 2 3 4 5 6 7
                   -+-+-+-+-+-+-+-
 B1 : { 1, 2, 3 } [ x x x . . . . ] 
 B2 : { 1, 4, 5 } [ x . . x x . . ] 
 B3 : { 1, 6, 7 } [ x . . . . x x ] 
 B4 : { 2, 4, 6 } [ . x . x . x . ] 
 B5 : { 2, 5, 7 } [ . x . . x . x ] 
 B6 : { 3, 4, 7 } [ . . x x . . x ] 
 B7 : { 3, 5, 6 } [ . . x . x x . ]

Ein aus sechs ( 7, 3, 2, 1 )-Designs konstruierter ( 14, 6, 3, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 7, 3, 3, 1 )-Design, der sich aus sechs verschiedenen ( 7, 3, 2, 1 )-Designs zusammensetzt. Durch Umwandlung der Zahlen in Zahlenpaare erhält man einen ( 14, 6, 3, 1 )-Design:


                    1 2 3 4 5 6 7
                   -+-+-+-+-+-+-+-
 B1 : { 1, 2, 3 } [ x x x . . . . ] 
 B2 : { 1, 4, 5 } [ x . . x x . . ] 
 B3 : { 1, 6, 7 } [ x . . . . x x ] 
 B4 : { 2, 4, 6 } [ . x . x . x . ] 
 B5 : { 2, 5, 7 } [ . x . . x . x ] 
 B6 : { 3, 4, 7 } [ . . x x . . x ] 
 B7 : { 3, 5, 6 } [ . . x . x x . ]
 ----------------------------------
 B8 : { 1, 2, 4 } [ x x . x . . . ] 
 B9 : { 1, 3, 7 } [ x . x . . . x ] 
 B10: { 2, 3, 5 } [ . x x . x . . ] 
 B11: { 1, 5, 6 } [ x . . . x x . ] 
 B12: { 3, 4, 6 } [ . . x .x. x . ] 
 B13: { 4, 5, 7 } [ . . . x x . x ] 
 B14: { 2, 6, 7 } [ . x . . . x x ]
 ----------------------------------
 B15: { 1, 2, 5 } [ x x . . x . . ] 
 B16: { 1, 3, 6 } [ x . x . . x . ] 
 B17: { 2, 4, 6 } [ . x . x . x . ] 
 B18: { 3, 4, 5 } [ . . x x x . . ] 
 B19: { 1, 4, 7 } [ x . . x . . x ] 
 B20: { 2, 3, 7 } [ . x x . . . x ] 
 B21: { 5, 6, 7 } [ . . . . x x x ]

                    1 2 3 4 5 6 7
                   -+-+-+-+-+-+-+-
 B22: { 1, 2, 6 } [ x x . . . x . ] 
 B23: { 1, 3, 4 } [ x . x x . . . ] 
 B24: { 2, 5, 6 } [ . x . . x x . ] 
 B25: { 2, 4, 7 } [ . x . x . . x ] 
 B26: { 3, 5, 6 } [ . . x . x x . ] 
 B27: { 1, 5, 7 } [ x . . . x . x ] 
 B28: { 4, 6, 7 } [ . . . x . x x ]
 ----------------------------------
 B29: { 1, 2, 7 } [ x x . . . . x ] 
 B30: { 1, 4, 6 } [ x . . x . x . ] 
 B31: { 3, 4, 7 } [ . . x x . . x ] 
 B32: { 2, 3, 6 } [ . x x . . x . ] 
 B33: { 5, 6, 7 } [ . . . . x x x ] 
 B34: { 2, 4, 5 } [ . x . x x . . ] 
 B35: { 1, 3, 5 } [ x . x . x . . ]
 ----------------------------------
 B36: { 1, 2, 6 } [ x x . . . x . ] 
 B37: { 1, 3, 5 } [ x . x . x . . ] 
 B38: { 2, 3, 4 } [ . x x x . . . ] 
 B39: { 3, 6, 7 } [ . . x . . x x ] 
 B40: { 2, 5, 7 } [ . x . . x . x ] 
 B41: { 1, 4, 7 } [ x . . x . . x ] 
 B42: { 4, 5, 6 } [ . . . x x x . ]


Ein ( 12, 6, 3, 2 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 12, 6, 3, 2 )-Design:


                             1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
                            -+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-
 B1 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } [ x  x  x  x  x  x  .  .  .  .  .  . ] 
 B2 : { 1, 2, 3, 7, 8, 9 } [ x  x  x  .  .  .  x  x  x  .  .  . ] 
 B3 : { 1, 2, 4, 7,10,11 } [ x  x  .  x  .  .  x  .  .  x  x  . ] 
 B4 : { 1, 2, 5, 8,10,12 } [ x  x  .  .  x  .  .  x  .  x  .  x ] 
 B5 : { 1, 2, 6, 9,11,12 } [ x  x  .  .  .  x  .  .  x  .  x  x ] 
 B6 : { 1, 3, 4, 8,11,12 } [ x  .  x  x  .  .  .  x  .  .  x  x ] 
 B7 : { 1, 3, 5, 9,10,11 } [ x  .  x  .  x  .  .  .  x  x  x  . ] 
 B8 : { 1, 3, 6, 7,10,12 } [ x  .  x  .  .  x  x  .  .  x  .  x ] 
 B9 : { 1, 4, 5, 7, 9,12 } [ x  .  .  x  x  .  x  .  x  .  .  x ] 
 B10: { 1, 4, 6, 8, 9,10 } [ x  .  .  x  .  x  .  x  x  x  .  . ]
 B11: { 1, 5, 6, 7, 8,11 } [ x  .  .  .  x  x  x  x  .  .  x  . ] 
 B12: { 2, 3, 4, 9,10,12 } [ .  x  x  x  .  .  .  .  x  x  .  x ] 
 B13: { 2, 3, 5, 7,11,12 } [ .  x  x  .  x  .  x  .  .  .  x  x ] 
 B14: { 2, 3, 6, 8,10,11 } [ .  x  x  .  .  x  .  x  .  x  x  . ] 
 B15: { 2, 4, 5, 8, 9,11 } [ .  x  .  x  x  .  .  x  x  .  x  . ] 
 B16: { 2, 4, 6, 7, 8,12 } [ .  x  .  x  .  x  x  x  .  .  .  x ] 
 B17: { 2, 5, 6, 7, 9,10 } [ .  x  .  .  x  x  x  .  x  x  .  . ] 
 B18: { 3, 4, 5, 7, 8,10 } [ .  .  x  x  x  .  x  x  .  x  .  . ] 
 B19: { 3, 4, 6, 7, 9,11 } [ .  .  x  x  .  x  x  .  x  .  x  . ] 
 B20: { 3, 5, 6, 8, 9,12 } [ .  .  x  .  x  x  .  x  x  .  .  x ] 
 B21: { 4, 5, 6,10,11,12 } [ .  .  .  x  x  x  .  .  .  x  x  x ] 
 B22: { 7, 8, 9,10,11,12 } [ .  .  .  .  .  .  x  x  x  x  x  x ]

Die Lotto-Gesellschaften bieten unter dem Namen VEW-System 612 (VEW="Verkürzte engere Wahl") ein Systemspiel an, das auf einem ( 12, 6, 3, 2 )-Design beruht.


Ein ( 18, 6, 3, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 18, 6, 3, 1 )-Design:


                                                1                 
                              1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8
                             -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
 B1 : {  1, 2, 3, 4, 5, 6 } [ x x x x x x . . . . . . . . . . . . ] 
 B2 : {  1, 2, 3, 7, 8, 9 } [ x x x . . . x x x . . . . . . . . . ] 
 B3 : {  1, 2, 3,10,11,12 } [ x x x . . . . . . x x x . . . . . . ] 
 B4 : {  1, 2, 3,13,14,15 } [ x x x . . . . . . . . . x x x . . . ] 
 B5 : {  1, 2, 3,16,17,18 } [ x x x . . . . . . . . . . . . x x x ] 
 B6 : {  1, 2, 4, 5, 7, 8 } [ x x . x x . x x . . . . . . . . . . ] 
 B7 : {  1, 3, 4, 6, 7, 9 } [ x . x x . x x . x . . . . . . . . . ] 
 B8 : {  1, 4, 7,10,13,16 } [ x . . x . . x . . x . . x . . x . . ] 
 B9 : {  1, 4, 7,11,14,17 } [ x . . x . . x . . . x . . x . . x . ] 
 B10: {  1, 4, 7,12,15,18 } [ x . . x . . x . . . . x . . x . . x ] 
 B11: {  1, 5, 9,10,14,18 } [ x . . . x . . . x x . . . x . . . x ] 
 B12: {  1, 5, 9,11,15,16 } [ x . . . x . . . x . x . . . x x . . ] 
 B13: {  1, 5, 9,12,13,17 } [ x . . . x . . . x . . x x . . . x . ] 
 B14: {  1, 6, 8,10,15,17 } [ x . . . . x . x . x . . . . x . x . ] 
 B15: {  1, 6, 8,11,13,18 } [ x . . . . x . x . . x . x . . . . x ] 
 B16: {  1, 6, 8,12,14,16 } [ x . . . . x . x . . . x . x . x . . ] 
 B17: {  2, 3, 5, 6, 8, 9 } [ . x x . x x . x x . . . . . . . . . ] 
 B18: {  2, 4, 9,10,15,17 } [ . x . x . . . . x x . . . . x . x . ] 
 B19: {  2, 4, 9,11,13,18 } [ . x . x . . . . x . x . x . . . . x ] 
 B20: {  2, 4, 9,12,14,16 } [ . x . x . . . . x . . x . x . x . . ] 
 B21: {  2, 5, 8,10,13,16 } [ . x . . x . . x . x . . x . . x . . ] 
 B22: {  2, 5, 8,11,14,17 } [ . x . . x . . x . . x . . x . . x . ] 
 B23: {  2, 5, 8,12,15,18 } [ . x . . x . . x . . . x . . x . . x ] 
 B24: {  2, 6, 7,10,14,18 } [ . x . . . x x . . x . . . x . . . x ] 
 B25: {  2, 6, 7,11,15,16 } [ . x . . . x x . . . x . . . x x . . ] 
 B26: {  2, 6, 7,12,13,17 } [ . x . . . x x . . . . x x . . . x . ] 
 B27: {  3, 4, 8,10,14,18 } [ . . x x . . . x . x . . . x . . . x ] 
 B28: {  3, 4, 8,11,15,16 } [ . . x x . . . x . . x . . . x x . . ] 
 B29: {  3, 4, 8,12,13,17 } [ . . x x . . . x . . . x x . . . x . ] 
 B30: {  3, 5, 7,10,15,17 } [ . . x . x . x . . x . . . . x . x . ] 
 B31: {  3, 5, 7,11,13,18 } [ . . x . x . x . . . x . x . . . . x ] 
 B32: {  3, 5, 7,12,14,16 } [ . . x . x . x . . . . x . x . x . . ] 
 B33: {  3, 6, 9,10,13,16 } [ . . x . . x . . x x . . x . . x . . ] 
 B34: {  3, 6, 9,11,14,17 } [ . . x . . x . . x . x . . x . . x . ] 
 B35: {  3, 6, 9,12,15,18 } [ . . x . . x . . x . . x . . x . . x ] 
 B36: {  4, 5, 6, 7, 8, 9 } [ . . . x x x x x x . . . . . . . . . ] 
 B37: {  4, 5, 6,10,11,12 } [ . . . x x x . . . x x x . . . . . . ] 
 B38: {  4, 5, 6,13,14,15 } [ . . . x x x . . . . . . x x x . . . ] 
 B39: {  4, 5, 6,16,17,18 } [ . . . x x x . . . . . . . . . x x x ] 
 B40: {  7, 8, 9,10,11,12 } [ . . . . . . x x x x x x . . . . . . ] 
 B41: {  7, 8, 9,13,14,15 } [ . . . . . . x x x . . . x x x . . . ] 
 B42: {  7, 8, 9,16,17,18 } [ . . . . . . x x x . . . . . . x x x ] 
 B43: { 10,11,12,13,14,15 } [ . . . . . . . . . x x x x x x . . . ] 
 B44: { 10,11,12,16,17,18 } [ . . . . . . . . . x x x . . . x x x ] 
 B45: { 10,11,13,14,16,17 } [ . . . . . . . . . x x . x x . x x . ] 
 B46: { 10,12,13,15,16,18 } [ . . . . . . . . . x . x x . x x . x ] 
 B47: { 11,12,14,15,17,18 } [ . . . . . . . . . . x x . x x . x x ] 
 B48: { 13,14,15,16,17,18 } [ . . . . . . . . . . . . x x x x x x ]

Die folgende Abbildung zeigt noch einmal den gleichen ( 18, 6, 3, 1 )-Design in einer etwas kompakteren Form. Jede Tabellenzeile repräsentiert eine Zahl, jede Spalte repräsentiert eine Tippreihe aus sechs Zahlen. Wenn eine Zahl in einer Tippreihe enthalten ist, wird dies durch ein "x" zum Ausdruck gebracht, ansonsten steht ein Punkt ".":


    |    5   10   15   20   25   30   35   40    45  |    
 ---|----+----|----+----|----+----|----+----|----+---|--- 
  1 |xxxxxxxxxxxxxxxx................................|  1 
  2 |xxxxxx..........xxxxxxxxxx......................|  2 
  3 |xxxxx.x.........x.........xxxxxxxxx.............|  3 
  4 |x....xxxxx.......xxx......xxx......xxxx.........|  4 
  5 |x....x....xxx...x...xxx......xxx...xxxx.........|  5 
  6 |x.....x......xxxx......xxx......xxxxxxx.........|  6 
  7 |.x...xxxxx.............xxx...xxx...x...xxx......|  7 
  8 |.x...x.......xxxx...xxx...xxx......x...xxx......|  8 
  9 |.x....x...xxx...xxxx............xxxx...xxx......|  9 
 10 |..x....x..x..x...x..x..x..x..x..x...x..x..xx.xx.| 10 
 11 |..x.....x..x..x...x..x..x..x..x..x..x..x..xx.x.x| 11 
 12 |..x......x..x..x...x..x..x..x..x..x.x..x..xx..xx| 12 
 13 |...x...x....x.x...x.x....x..x.x.x....x..x.x.xxx.| 13 
 14 |...x....x.x....x...x.x.x..x....x.x...x..x.x.xx.x| 14 
 15 |...x.....x.x.x...x....x.x..x.x....x..x..x.x.x.xx| 15 
 16 |....x..x...x...x...xx...x..x...xx.....x..x.xxxx.| 16 
 17 |....x...x...xx...x...x...x..xx...x....x..x.xxx.x| 17 
 18 |....x....xx...x...x...xx..x...x...x...x..x.xx.xx| 18 
 ---|----+----|----+----|----+----|----+----|----+---|--- 
    |     5   10   15   20   25   30   35   40   45  |    


Ein ( 22, 6, 3, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 22, 6, 3, 1 )-Design:


                                                1                   2
                              1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
                             -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
 B1 : {  1, 2, 3, 4, 5, 6 } [ x x x x x x . . . . . . . . . . . . . . . . ] 
 B2 : {  1, 2, 7, 8, 9,10 } [ x x . . . . x x x x . . . . . . . . . . . . ] 
 B3 : {  1, 2,11,12,13,14 } [ x x . . . . . . . . x x x x . . . . . . . . ] 
 B4 : {  1, 2,15,16,17,18 } [ x x . . . . . . . . . . . . x x x x . . . . ] 
 B5 : {  1, 2,19,20,21,22 } [ x x . . . . . . . . . . . . . . . . x x x x ] 
 B6 : {  1, 3, 7,11,15,19 } [ x . x . . . x . . . x . . . x . . . x . . . ] 
 B7 : {  1, 3, 8,12,16,20 } [ x . x . . . . x . . . x . . . x . . . x . . ] 
 B8 : {  1, 3, 9,13,17,21 } [ x . x . . . . . x . . . x . . . x . . . x . ] 
 B9 : {  1, 3,10,14,18,22 } [ x . x . . . . . . x . . . x . . . x . . . x ] 
 B10: {  1, 4, 7,12,17,22 } [ x . . x . . x . . . . x . . . . x . . . . x ] 
 B11: {  1, 4, 8,11,18,21 } [ x . . x . . . x . . x . . . . . . x . . x . ] 
 B12: {  1, 4, 9,14,15,20 } [ x . . x . . . . x . . . . x x . . . . x . . ] 
 B13: {  1, 4,10,13,16,19 } [ x . . x . . . . . x . . x . . x . . x . . . ] 
 B14: {  1, 5, 7,13,18,20 } [ x . . . x . x . . . . . x . . . . x . x . . ] 
 B15: {  1, 5, 8,14,17,19 } [ x . . . x . . x . . . . . x . . x . x . . . ] 
 B16: {  1, 5, 9,11,16,22 } [ x . . . x . . . x . x . . . . x . . . . . x ] 
 B17: {  1, 5,10,12,15,21 } [ x . . . x . . . . x . x . . x . . . . . x . ] 
 B18: {  1, 6, 7,14,16,21 } [ x . . . . x x . . . . . . x . x . . . . x . ] 
 B19: {  1, 6, 8,13,15,22 } [ x . . . . x . x . . . . x . x . . . . . . x ] 
 B20: {  1, 6, 9,12,18,19 } [ x . . . . x . . x . . x . . . . . x x . . . ] 
 B21: {  1, 6,10,11,17,20 } [ x . . . . x . . . x x . . . . . x . . x . . ] 
 B22: {  2, 3, 7,12,18,21 } [ . x x . . . x . . . . x . . . . . x . . x . ] 
 B23: {  2, 3, 8,11,17,22 } [ . x x . . . . x . . x . . . . . x . . . . x ] 
 B24: {  2, 3, 9,14,16,19 } [ . x x . . . . . x . . . . x . x . . x . . . ] 
 B25: {  2, 3,10,13,15,20 } [ . x x . . . . . . x . . x . x . . . . x . . ] 
 B26: {  2, 4, 7,11,16,20 } [ . x . x . . x . . . x . . . . x . . . x . . ] 
 B27: {  2, 4, 8,12,15,19 } [ . x . x . . . x . . . x . . x . . . x . . . ] 
 B28: {  2, 4, 9,13,18,22 } [ . x . x . . . . x . . . x . . . . x . . . x ] 
 B29: {  2, 4,10,14,17,21 } [ . x . x . . . . . x . . . x . . x . . . x . ] 
 B30: {  2, 5, 7,14,15,22 } [ . x . . x . x . . . . . . x x . . . . . . x ] 
 B31: {  2, 5, 8,13,16,21 } [ . x . . x . . x . . . . x . . x . . . . x . ] 
 B32: {  2, 5, 9,12,17,20 } [ . x . . x . . . x . . x . . . . x . . x . . ] 
 B33: {  2, 5,10,11,18,19 } [ . x . . x . . . . x x . . . . . . x x . . . ] 
 B34: {  2, 6, 7,13,17,19 } [ . x . . . x x . . . . . x . . . x . x . . . ] 
 B35: {  2, 6, 8,14,18,20 } [ . x . . . x . x . . . . . x . . . x . x . . ] 
 B36: {  2, 6, 9,11,15,21 } [ . x . . . x . . x . x . . . x . . . . . x . ] 
 B37: {  2, 6,10,12,16,22 } [ . x . . . x . . . x . x . . . x . . . . . x ] 
 B38: {  3, 4, 7, 8,13,14 } [ . . x x . . x x . . . . x x . . . . . . . . ] 
 B39: {  3, 4, 9,10,11,12 } [ . . x x . . . . x x x x . . . . . . . . . . ] 
 B40: {  3, 4,15,16,21,22 } [ . . x x . . . . . . . . . . x x . . . . x x ] 
 B41: {  3, 4,17,18,19,20 } [ . . x x . . . . . . . . . . . . x x x x . . ] 
 B42: {  3, 5, 7,10,16,17 } [ . . x . x . x . . x . . . . . x x . . . . . ] 
 B43: {  3, 5, 8, 9,15,18 } [ . . x . x . . x x . . . . . x . . x . . . . ] 
 B44: {  3, 5,11,14,20,21 } [ . . x . x . . . . . x . . x . . . . . x x . ] 
 B45: {  3, 5,12,13,19,22 } [ . . x . x . . . . . . x x . . . . . x . . x ] 
 B46: {  3, 6, 7, 9,20,22 } [ . . x . . x x . x . . . . . . . . . . x . x ] 
 B47: {  3, 6, 8,10,19,21 } [ . . x . . x . x . x . . . . . . . . x . x . ] 
 B48: {  3, 6,11,13,16,18 } [ . . x . . x . . . . x . x . . x . x . . . . ] 
 B49: {  3, 6,12,14,15,17 } [ . . x . . x . . . . . x . x x . x . . . . . ] 
 B50: {  4, 5, 7, 9,19,21 } [ . . . x x . x . x . . . . . . . . . x . x . ] 
 B51: {  4, 5, 8,10,20,22 } [ . . . x x . . x . x . . . . . . . . . x . x ] 
 B52: {  4, 5,11,13,15,17 } [ . . . x x . . . . . x . x . x . x . . . . . ] 
 B53: {  4, 5,12,14,16,18 } [ . . . x x . . . . . . x . x . x . x . . . . ] 
 B54: {  4, 6, 7,10,15,18 } [ . . . x . x x . . x . . . . x . . x . . . . ] 
 B55: {  4, 6, 8, 9,16,17 } [ . . . x . x . x x . . . . . . x x . . . . . ] 
 B56: {  4, 6,11,14,19,22 } [ . . . x . x . . . . x . . x . . . . x . . x ] 
 B57: {  4, 6,12,13,20,21 } [ . . . x . x . . . . . x x . . . . . . x x . ] 
 B58: {  5, 6, 7, 8,11,12 } [ . . . . x x x x . . x x . . . . . . . . . . ] 
 B59: {  5, 6, 9,10,13,14 } [ . . . . x x . . x x . . x x . . . . . . . . ] 
 B60: {  5, 6,15,16,19,20 } [ . . . . x x . . . . . . . . x x . . x x . . ] 
 B61: {  5, 6,17,18,21,22 } [ . . . . x x . . . . . . . . . . x x . . x x ] 
 B62: {  7, 8,15,17,20,21 } [ . . . . . . x x . . . . . . x . x . . x x . ] 
 B63: {  7, 8,16,18,19,22 } [ . . . . . . x x . . . . . . . x . x x . . x ] 
 B64: {  7, 9,11,14,17,18 } [ . . . . . . x . x . x . . x . . x x . . . . ] 
 B65: {  7, 9,12,13,15,16 } [ . . . . . . x . x . . x x . x x . . . . . . ] 
 B66: {  7,10,11,13,21,22 } [ . . . . . . x . . x x . x . . . . . . . x x ] 
 B67: {  7,10,12,14,19,20 } [ . . . . . . x . . x . x . x . . . . x x . . ] 
 B68: {  8, 9,11,13,19,20 } [ . . . . . . . x x . x . x . . . . . x x . . ] 
 B69: {  8, 9,12,14,21,22 } [ . . . . . . . x x . . x . x . . . . . . x x ] 
 B70: {  8,10,11,14,15,16 } [ . . . . . . . x . x x . . x x x . . . . . . ] 
 B71: {  8,10,12,13,17,18 } [ . . . . . . . x . x . x x . . . x x . . . . ] 
 B72: {  9,10,15,17,19,22 } [ . . . . . . . . x x . . . . x . x . x . . x ] 
 B73: {  9,10,16,18,20,21 } [ . . . . . . . . x x . . . . . x . x . x x . ] 
 B74: { 11,12,15,18,20,22 } [ . . . . . . . . . . x x . . x . . x . x . x ] 
 B75: { 11,12,16,17,19,21 } [ . . . . . . . . . . x x . . . x x . x . x . ] 
 B76: { 13,14,15,18,19,21 } [ . . . . . . . . . . . . x x x . . x x . x . ] 
 B77: { 13,14,16,17,20,22 } [ . . . . . . . . . . . . x x . x x . . x . x ]

Die Lotto-Gesellschaften bieten unter dem Namen VEW-System 622 (VEW="Verkürzte engere Wahl") ein Systemspiel an, das auf einem ( 22, 6, 3, 1 )-Design beruht.

Die folgende Abbildung zeigt noch einmal den gleichen ( 22, 6, 3, 1 )-Design in einer etwas kompakteren Form. Jede Tabellenzeile repräsentiert eine Zahl, jede Spalte repräsentiert eine Tippreihe aus sechs Zahlen. Wenn eine Zahl in einer Tippreihe enthalten ist, wird dies durch ein "x" zum Ausdruck gebracht, ansonsten steht ein Punkt ".":


    |    5   10   15   20   25   30   35   40   45   50   55   60   65   70   75  |    
 ---|----+----|----+----|----+----|----+----|----+----|----+----|----+----|----+--|--- 
  1 |xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx........................................................|  1 
  2 |xxxxx................xxxxxxxxxxxxxxxx........................................|  2 
  3 |x....xxxx............xxxx............xxxxxxxxxxxx............................|  3 
  4 |x........xxxx............xxxx........xxxx........xxxxxxxx....................|  4 
  5 |x............xxxx............xxxx........xxxx....xxxx....xxxx................|  5 
  6 |x................xxxx............xxxx........xxxx....xxxxxxxx................|  6 
  7 |.x...x...x...x...x...x...x...x...x...x...x...x...x...x...x...xxxxxx..........|  7 
  8 |.x....x...x...x...x...x...x...x...x..x....x...x...x...x..x...xx....xxxx......|  8 
  9 |.x.....x...x...x...x...x...x...x...x..x...x..x...x....x...x....xx..xx..xx....|  9 
 10 |.x......x...x...x...x...x...x...x...x.x..x....x...x..x....x......xx..xxxx....| 10 
 11 |..x..x....x....x....x.x..x......x..x..x....x...x...x...x.x.....x.x.x.x...xx..| 11 
 12 |..x...x..x......x..x.x....x....x....x.x.....x...x...x...xx......x.x.x.x..xx..| 12 
 13 |..x....x....xx....x.....x..x..x..x...x......x..x...x....x.x.....xx.x..x....xx| 13 
 14 |..x.....x..x..x..x.....x....xx....x..x.....x....x...x..x..x....x..x.xx.....xx| 14 
 15 |...x.x.....x....x.x.....x.x..x.....x...x..x.....x..x.x.....x.x..x....x.x.x.x.| 15 
 16 |...x..x.....x..x.x.....x.x....x.....x..x.x.....x....x.x....x..x.x....x..x.x.x| 16 
 17 |...x...x.x....x.....x.x.....x..x.x......xx......x..x..x.....xx.x......xx..x.x| 17 
 18 |...x....x.x..x.....x.x.....x....x.x.....x.x....x....xx......x.xx......x.xx.x.| 18 
 19 |....xx......x.x....x...x..x.....xx......x...x.x..x.....x...x..x...xx...x..xx.| 19 
 20 |....x.x....x.x......x...xx.....x..x.....x..x.x....x.....x..x.x....xx....xx..x| 20 
 21 |....x..x..x.....xx...x......x.x....x...x...x..x..x......x...xx...x..x...x.xx.| 21 
 22 |....x...xx.....x..x...x....x.x......x..x....xx....x....x....x.x..x..x..x.x..x| 22 
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    |    5   10   15   20   25   30   35   40   45   50   55   60   65   70   75  |    

176 Tippreihen mit Gewinngarantie

Auf der Grundlage des im vorigen Abschnitt gezeigten ( 22, 6, 3, 1 )-Designs kann man nun leicht einen Design konstruieren, mit dem unter Garantie drei Richtige im Lotto erzielt werden! Die Konstruktion sieht wie folgt aus: Man teile die 49 Lottozahlen in drei paarweise disjunkte Mengen M1, M2 und M3 auf, so dass M1 22 Zahlen, M2 ebenfalls 22 Zahlen, und M3 5 Zahlen enthält. Für die beiden Mengen M1 und M2 bilde man je einen ( 22, 6, 3, 1 )-Design. Das ergibt 2×77=154 Tippreihen. Zusätzlich bilde man 22 weitere Tippreihen, die jeweils eine Zahl aus M1 sowie alle 5 Zahlen aus M3 enthalten. (Die Wahl von M1 für diesen Konstruktionsschritt ist beliebig; die Konstruktion kann gleichwertig mit den 22 Zahlen aus M2 durchgeführt werden.) Es ist leicht einzusehen, dass für jede Menge aus sechs beliebig ausgewählten Zahlen sich in mindestens einer der 176 Tippreihen mindestens drei der ausgewählten Zahlen befinden.


Ein ( 9, 6, 4, 1 )-Design

Die folgende Abbildung zeigt einen ( 9, 6, 4, 1 )-Design:


                        1 2 3 4 5 6 7 8 9
                       -+-+-+-+-+-+-+-+-+-
 B1 : { 1,2,3,4,5,6 } [ x x x x x x . . . ] 
 B2 : { 1,2,3,4,7,8 } [ x x x x . . x x . ] 
 B3 : { 1,2,3,5,7,9 } [ x x x . x . x . x ] 
 B4 : { 1,2,4,5,8,9 } [ x x . x x . . x x ] 
 B5 : { 1,2,6,7,8,9 } [ x x . . . x x x x ] 
 B6 : { 1,3,4,6,7,9 } [ x . x x . x x . x ] 
 B7 : { 1,3,5,6,8,9 } [ x . x . x x . x x ] 
 B8 : { 1,4,5,6,7,8 } [ x . . x x x x x . ] 
 B9 : { 2,3,4,6,8,9 } [ . x x x . x . x x ] 
 B10: { 2,3,5,6,7,8 } [ . x x . x x x x . ] 
 B11: { 2,4,5,6,7,9 } [ . x . x x x x . x ] 
 B12: { 3,4,5,7,8,9 } [ . . x x x . x x x ]

Die Lotto-Gesellschaften bieten unter dem Namen VEW-System 609 (VEW="Verkürzte engere Wahl") ein Systemspiel an, das auf einem ( 9, 6, 4, 1 )-Design beruht.


1.2.2000